Логаритхмс фор Аналог Цирцуитс

Anonim

Логаритхмс фор Аналог Цирцуитс

Математика за електронику


Питање 1

Концепт математичке моћи познат је већини студената алгебре. На пример, десет до треће снаге значи ово:

10 3 = 10 × 10 × 10 = 1000

. . . а осам до седме моћи значи ово:

8 7 = 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 = 2.097.152

Баш као што је одузимање инверсе функција додавања, а подела је инверзна функција умножавања (јер са инверзним функцијама, једна "поништи" другу), постоји и инверзна функција за снагу и ми га зовемо логаритамом .

Поновно унесите израз 10 3 = 1000 тако да користи исте количине (10, 3 и 1000) у контексту логаритма уместо снаге, баш као што је одузимање овде приказано као инверзно додавање, и показује се да је подела мултипликације у следећим примерима:

3 + 8 = 11 (+ и - су инверзне функције) 11 - 3 = 8

2 × 7 = 14 (к и ÷ су инверзне функције) 14 ÷ 2 = 7

10 3 = 1000 (моћи и дневници су инверзне функције) лог 10 "# 1"> Открити одговор Сакриј одговор

10 3 = 1000 (моћи и дневници су инверзне функције) лог 10 1000 = 3

Напомене:

По мом искуству, већина америчких ученика је преподнуто спремна за предмет логаритма када сарађују са мном. Сасвим сигурно, логаритми не виде толико користан у свакодневном животу колико и моћи (а то је за већину људи врло мало!). Логаритми су били уобичајени трошкови за средњошколце и студенте, пошто су били неопходни за функционисање слајд правила, елегантан механички аналогни рачунарски уређај који је био популаран пре неколико деценија.

Сврха овог питања је двоструко: да ученици схвате шта је логаритам, а такође их подсјећају на конверзију инверзних функција које постају врло важне у аналогним рачунским колима.

Питање 2

С обзиром на следећи математички израз, напишите још један који дефинише логаритам користећи исте варијабле:

Ако: к и = з Затим: лог ? ? =?

Открити одговор Сакриј одговор

Ако: к и = з Затим: лог к з = и

Напомене:

Ништа посебно овде. Заиста, одговор на ово питање може бити изведен из било којег уџбеника алгебре.

Питање 3

Електронски калкулатори са могућношћу логаритма имају најмање два различита типа логаритма: заједнички логаритам и природни логаритам, симболичан као "лог" и "лн", респективно. Објасните која је разлика између ова два типа логаритма.

Открити одговор Сакриј одговор

Обична логаритамска функција претпоставља "базну" вредност од десет, док природни логаритам претпоставља базну вриједност е (Еулерова константа).

Следеће питање: која је приближна вредност е? Како можете добити ваш калкулатор да вам дати одговор (уместо да погледате у књигу математике?

Напомене:

Неки калкулатори, наравно, омогућавају вам да извучете логаритам било ког броја у било коју базу. Ево, једноставно желим да се студенти упознају са две логаритамске функције доступне на најосновнијим научним калкулаторима.

Имајте на уму да ће неки калкулатори показати довољно цифара е да дају погрешан утисак који понављају (десет цифара: е = 2.718281828). Ако неко каже да је е (рационалан) понављајући децимални број, исправите овај неспоразум говорећи им је ирационалан као π.

Питање 4

Имајте на уму следеће логаритамске идентитете, користећи "заједнички" (базни 10) логаритам:

лог10 = 1

лог100 = 2

лог1000 = 3

лог10000 = 4

У првој једначини, бројеви 10 и 1 су повезани заједно са лог функцијом. У другој једначини, бројеви 100 и 2 су повезани заједно са истом лог функцијом и тако даље.

Прелистајте четири једначине заједно тако да се исти бројеви односе једни на друге, али без писања "лог". Другим ријечима, представљају исте математичке односе користећи неку математичку функцију, осим обичне логаритамске функције.

Открити одговор Сакриј одговор

10 1 = 10

10 2 = 100

10 3 = 1000

10 4 = 10000

Напомене:

Оваква илустрација помаже студентима да схвате шта функција "лог" заправо ради.

Питање 5

Имајте на уму следеће логаритамске идентитете, користећи "заједнички" (базни 10) логаритам:

лог0.1 = -1

лог0.01 = -2

лог0.001 = -3

лог0.0001 = -4

У првој једначини, бројеви 0.1 и 1 су повезани заједно са лог функцијом. У другој једначини, бројеви 0.01 и 2 су повезани заједно са истом лог функцијом и тако даље.

Прелистајте четири једначине заједно тако да се исти бројеви односе једни на друге, али без писања "лог". Другим ријечима, представљају исте математичке односе користећи неку математичку функцију, осим обичне логаритамске функције.

Открити одговор Сакриј одговор

10 -1 = 0, 1

10 -2 = 0, 01

10 -3 = 0, 001

10 -4 = 0, 0001

Напомене:

Оваква илустрација помаже студентима да схвате шта функција "лог" заправо ради.

Питање 6

Испитајте следећи напредак математичких изјава:

(10 2 ) (10 3 ) = 100000

10 2 + 3 = 100000

10 5 = 100000

Шта показује овај шаблон? Који принцип алгебре је илустрован овим три једначине?

Затим, испитајте овај напредак математичких изјава:

лог10 5 = лог100000 = 5

лог10 2 + 3 = лог100000 = 5

лог10 2 + лог10 3 = лог100000 = 5

Шта показује овај шаблон? Који принцип алгебре је илустрован овим три једначине?

Открити одговор Сакриј одговор

Први образац:

Производ два базна броја са различитим експонентима је једнак оном базном броју који је подигнут на моћ суме експонената.

Други образац:

Сума два логаритма је једнака логаритму тог производа два броја.

Напомене:

У овом питању желим да ученици почну да виде како логаритми повезују размножавање са додатком и како се овласти односе на множење. Ово је почетни корак за ученике који препознају логаритме као функције трансформације : средство за трансформацију једне врсте математичког проблема у једноставнији тип математичког проблема.

Питање 7

Прегледајте напредак математичких изјава:

(100) (1000) = 100000

(100) (1000) = 10 5

лог ((100) (1000)) = лог10 5

лог100 + лог1000 = лог10 5

лог10 2 + лог10 3 = лог10 5

2 + 3 = 5

Оно што је започео као проблем множења завршило се као додатни проблем, применом логаритма. Шта вам то говори о корисности логаритма као аритметичког алата?

Открити одговор Сакриј одговор

Тај логаритам може смањити сложеност једначине од множења, све до додатка, указује на њену корисност као алат за поједностављивање аритметичких проблема. Конкретно, логаритам производа једнак је збиру логаритма два помножена бројева.

Напомене:

У математици, свака процедура која смањује сложен тип проблема у једноставнији тип проблема назива се трансформацијска функција, а логаритми су један од најједноставнијих типова трансформационих функција у постојању.

Питање 8

Претпоставимо да сте поседовали научни калкулатор са два сломљена дугмета: помножите (×) и поделите (÷). Покажите како можете решити овај једноставан проблем множења користећи само логаритме, додатак и антилогаритме (силе):

7 × 5 =? ? ?

Одговор на овај проблем био је довољно лак за вас да схватите без калкулатора уопште, па ево још неких проблема у пракси да бисте покушали:

23 × 35 =
781 × 92 =
19, 4 × 60 =
0.019 × 2.6 =
Открити одговор Сакриј одговор

Овдје ћу вам показати кораке за кориштење логаритма за рјешавање првог проблема множења:

7 × 5 =? ? ?

7 × 5 = 10 лог7 + лог5

7 × 5 = 10 0, 8451 + 0, 6990

7 × 5 = 10 1, 5441

7 × 5 = 35

Пошто су остали довољно лаки да проверите (са вашим не-сломљеним калкулатором!), Оставићу своја решења у својим способним рукама.

Напомене:

Случајно, нема ничег посебног у вези са заједничким логаритмом који гарантује његову искључиву употребу у овом проблему. Могли бисмо исто тако једноставно применити природну логаритамску функцију са истим (коначним) резултатом:

7 × 5 =? ? ?

7 × 5 = е лн7 + лн5

7 × 5 = е 1.9459 + 1.6094

7 × 5 = е 3.5553

7 × 5 = 35

Питање 9

Прегледајте напредак математичких изјава:

1000


100

= 10

1000


100

= 10 1

Пријава⎛ ⎝ 1000


100

⎞ ⎠ = лог10 1

лог1000 - лог100 = лог10 1

лог10 3 - лог10 2 = лог10 1

3 - 2 = 1

Оно што је започео као проблем поделе, завршило се као проблем одузимања, применом логаритма. Шта вам то говори о корисности логаритма као аритметичког алата?

Открити одговор Сакриј одговор

Тај логаритам може смањити сложеност једначине од подјела, све до одузимања, указује на њену корисност као алат за поједностављивање аритметичких проблема. Конкретно, логаритам количника је једнак разлици између логаритмова два броја који су подељени.

Напомене:

У математици, свака процедура која смањује сложен тип проблема у једноставнији тип проблема назива се трансформацијска функција, а логаритми су један од најједноставнијих типова трансформационих функција у постојању.

Питање 10

Претпоставимо да сте поседовали научни калкулатор са два сломљена дугмета: помножите (×) и поделите (÷). Покажите како можете решити овај једноставан проблем множења користећи само логаритме, додатак и антилогаритме (силе):

12 ÷ 3 =? ? ?

Одговор на овај проблем био је довољно лак за вас да схватите без калкулатора уопште, па ево још неких проблема у пракси да бисте покушали:

122 ÷ 35 =
781 ÷ 92 =
19.4 ÷ 60 =
3.5 ÷ 0.21 =
Открити одговор Сакриј одговор

Овдје ћу вам показати кораке за кориштење логаритма за рјешавање првог проблема множења:

12 ÷ 3 =? ? ?

12 ÷ 3 = 10 лог12 - лог3

12 ÷ 3 = 10 1.0792 - 0.4771

12 ÷ 3 = 10 0, 6021

12 ÷ 3 = 4

Пошто су остали довољно лаки да проверите (са вашим не-сломљеним калкулатором!), Оставићу своја решења у својим способним рукама.

Напомене:

Случајно, нема ничег посебног у вези са заједничким логаритмом који гарантује његову искључиву употребу у овом проблему. Могли бисмо исто тако једноставно применити природну логаритамску функцију са истим (коначним) резултатом:

12 ÷ 3 =? ? ?

12 ÷ 3 = е лн12 - лн3

12 ÷ 3 = е 2.4849 - 1.0986

12 ÷ 3 = е 1.3863

12 ÷ 3 = 4

Питање 11

Прегледајте напредак математичких изјава:

(1000) 2 = 1000000

(1000) 2 = 10 6

лог ((1000) 2 ) = лог10 6

(2) (лог1000) = лог10 6

(2) (лог10 3 ) = лог10 6

(2) (3) = 6

Оно што је започело као експоненцијални проблем завршило се као проблем множења, применом логаритма. Шта вам то говори о корисности логаритма као аритметичког алата?

Открити одговор Сакриј одговор

Тај логаритам може смањити сложеност једначине од експоненцијације, све до множења, указује на његову корисност као алат за поједностављивање аритметичких проблема. Конкретно, логаритам броја подигнутог на снагу је једнак оној моћи помножена логаритмом броја.

Напомене:

У математици, свака процедура која смањује сложен тип проблема у једноставнији тип проблема назива се трансформацијска функција, а логаритми су један од најједноставнијих типова трансформационих функција у постојању.

Питање 12

Претпоставимо да сте поседовали научни калкулатор са два сломљена дугмета: снага (и к ) и роот ( к

√ {и}). Покажите како можете ријешити овај једноставни проблем с напајањем користећи само логаритме, множење и антилогаритме (силе):

3 4 =? ? ?

Одговор на овај проблем био је довољно лак за вас да схватите без калкулатора уопште, па ево још неких проблема у пракси да бисте покушали:

25 6 =
564 3 =
0.224 2 =
41 0.3 =
Открити одговор Сакриј одговор

Овдје ћу вам показати кораке за кориштење логаритма за рјешавање првог проблема множења:

3 4 =? ? ?

3 4 = 10 (4 лог3)

3 4 = 10 (4) (0, 4771)

3 4 = 10 1.9085

3 4 = 81

Пошто су остали довољно лаки да проверите (са вашим не-сломљеним калкулатором!), Оставићу своја решења у својим способним рукама.

Напомене:

Случајно, нема ничег посебног у вези са заједничким логаритмом који гарантује његову искључиву употребу у овом проблему. Могли бисмо исто тако једноставно применити природну логаритамску функцију са истим (коначним) резултатом:

3 4 =? ? ?

3 4 = е (4 лн3)

3 4 = е (4) (1.0986)

3 4 = е 4.3944

3 4 = 81

Питање 13

Прегледајте напредак математичких изјава:


1000

= 10 1.5

Пријава


1000

= лог (10 1, 5 )

лог (1000 1/2 ) = лог (10 1, 5 )

1


2

(лог1000) = лог (10 1, 5 )

1


2

(лог10 3 ) = лог (10 1, 5 )

3


2

(лог10) = лог (10 1, 5 )

3


2

(1) = лог (10 1, 5 )

3


2

= лог (10 1, 5 )

3


2

= 1.5

Оно што је започело као проблем фракционог експонента завршило се као једноставна фракција, применом логаритма. Шта вам то говори о корисности логаритма као аритметичког алата?

Открити одговор Сакриј одговор

Тај логаритам може смањити сложеност једначине од фракционе експоненцијације, све до једноставних фракција, указује на њену корисност као алат за поједностављивање аритметичких проблема. Конкретно, логаритам корена броја је једнак логаритму тог броја подељеног са коријенским индексом.

Напомене:

У математици, свака процедура која смањује сложен тип проблема у једноставнији тип проблема назива се трансформацијска функција, а логаритми су један од најједноставнијих типова трансформационих функција у постојању.

Питање 14

Претпоставимо да сте поседовали научни калкулатор са два сломљена дугмета: снага (и к ) и роот ( к

√ {и}). Демонстришите како можете решити овај једноставан коријенски проблем користећи само логаритме, подјелу и антилогаритме (силе):

3


8

=? ? ?

Одговор на овај проблем био је довољно лак за вас да схватите без калкулатора уопште, па ево још неких проблема у пракси да бисте покушали:

4 √ {13} =
5 √ {209} =
2.5 √ {9935} =
9.2 √ {0.15} =
Открити одговор Сакриј одговор

Овдје ћу вам показати кораке за кориштење логаритма за рјешавање првог проблема множења:

3


8

=? ? ?

3


8

= 10 (1/3 лог8)

3


8

= 10 (1/3 (0, 9031))

3


8

= 10 0.3010

3


8

= 2

Пошто су остали довољно лаки да проверите (са вашим не-сломљеним калкулатором!), Оставићу своја решења у својим способним рукама.

Напомене:

Случајно, нема ничег посебног у вези са заједничким логаритмом који гарантује његову искључиву употребу у овом проблему. Могли бисмо исто тако једноставно применити природну логаритамску функцију са истим (коначним) резултатом:

3


8

=? ? ?

3


8

= е (1/3 лн8)

3


8

= е (1/3 (2.0794))

3


8

= е 0.6931

3


8

= 2

Питање 15

Можда се питате зашто би се неко трудио да користите логаритме за решавање аритметичких проблема за које имамо на располагању савршено добре и ефикасне дигиталне електронске функције калкулатора. На пример, зашто би неко то урадио:

10 лог7 + лог5

. . . када би могли да раде следеће на истом рачунару?

7 × 5

Брзи одговор на ово врло добро питање је "када је теже директно умножити два броја". Проблем је што већина људи има тешко вријеме да замисли када би било лакше узети два логаритма, додати их заједно и подигни десет до те моћи него што би било једноставно умножити првобитна два броја заједно.

Одговор на ту мистерију налази се у оперативном колу за појачаваче. Као што се испоставило, много је лакше изградити појединачне опамп кругове који додају, одузимају, експонирају или узимају логаритмове него што се гради онај који директно множи или дели двије величине (аналогне напоне) заједно.

Можемо да замислимо ове опамп функције као "блокове" који се могу међусобно повезати да изводе композитне аритметичке функције:

Коришћењем овог модела специфичних блокова математике "показују како се слиједећи скуп аналогних математичких функција може повезати заједно да множе два аналогна напона заједно:

Открити одговор Сакриј одговор

Напомене:

Сврха овог питања је једноставна: пружити практичну апликацију за логаритме као рачунарска помоћ у доба јефтиних, свеприсутних, дигиталних рачунарских уређаја.

Питање 16

Логаритми имају занимљива својства, која можемо користити у електронским колима за извођење одређених сложених операција. У овом питању, препоручујем вам да користите ручни калкулатор за истраживање ових особина.

Израчунајте следеће:

10 лог3 =
лог (10 8 ) =
е лн3 =
лн (е 8 ) =
10 (лог3 + лог5) =
е (лн3 + лн5) =
10 (лог2.2 + лог4) =
е (лн2.2 + лн4) =
10 (лог12 - лог4) =
е (лн12 - лн4) =
10 (2 лог3) =
е (2 лн3) =
10 ((лог25 / 2)) =
е ((лн25 / 2)) =
Открити одговор Сакриј одговор

10 лог3 = 3
лог (10 8 ) = 8
е лн3 = 3
лн (е 8 ) = 8
10 (лог3 + лог5) = 15
е (лн3 + лн5) = 15
10 (лог2.2 + лог4) = 8.8
е (лн2.2 + лн4) = 8.8
10 (лог12 - лог4) = 3
е (лн12 - лн4) = 3
10 (2 лог3) = 9
е (2 лн3) = 9
10 ((лог25 / 2)) = 5
е ((лн25 / 2)) = 5

Напомене:

Разговарајте о томе шта се математичке операције раде са константама у овим једначинама, користећи логаритме. Који обрасци ваши ученици примећују "мета-ознаке скривене-принт">

Повезани алати:

Рефлексивни Аттенуатор Калкулатор Н-Ваи Повер Дивидер Калкулатор Броадсиде Цоуплед Траце Индуцтанце Калкулатор

  • ← Претходни радни лист

  • Индек листова

  • Следећи радни лист →