Поларна форма и правоугаона форма за комплексне бројеве

What is a Protein? (Јули 2019).

$config[ads_text] not found
Anonim

Поларна форма и правоугаона форма за комплексне бројеве

Поглавље 2 - Комплексни бројеви


Да би радили с комплексним бројевима без вектора вуче, прво нам је потребна нека врста стандардне математичке нотације. Постоје два основна облика комплексног броја записа: поларна и правоугаона .

Поларни облик комплексног броја

Поларни облик је гдје се комплексним бројем означава дужина (иначе позната као величина, апсолутна вриједност или модул ) и угао његовог вектора (обично означен симболом који изгледа овако: ∠).

Да би се користила аналогија карте, поларна нотација за вектор из Њујорка у Сан Дијего би била нешто попут "2400 миља југозападно". Ево два примера вектора и њихових поларних нотација:

Вектори са поларним нотацијама.

Стандардна оријентација за углове вектора у обрачунским круговима АЦ одређује 0 о као што је десно (хоризонтално), чинећи 90 о равно, 180 о лево и 270 о равно доле. Имајте на уму да вектори под углом "надоле" могу имати углове приказани у поларној форми као позитивни бројеви изнад 180 или негативни бројеви мање од 180. На пример, вектор под углом ∠ 270 о (право доле) такође може рећи да има угао од -90 о . (Слика испод) Горњи вектор десно (7.81 ∠ 230.19 о ) може се означити као 7.81 ∠ -129.81 о .


Векторски компас

Правоугаона форма комплексног броја

Правоугаона форма, с друге стране, је гдје комплексни број означава одговарајуће хоризонталне и вертикалне компоненте. У суштини, угаони вектор је узет као хипотенуза правог троугла, описаног дужином суседних и супротних страна. Уместо да описује дужину и правац вектора означавајући магнитуду и угао, описује се у терминима "колико далеко / десно" и "колико далеко горе / доле."

Ове дводимензионалне фигуре (хоризонталне и вертикалне) симболизоване су са две нумеричке фигуре. Да би се разликовале хоризонталне и вертикалне димензије једне од других, вертикала је префиксирана са малим словом "и" (у чистој математици) или "ј" (у електроници). Ова мала слова не представљају физичку варијаблу (као што је тренутна струја, такође симболизовано словом "и"), већ су математички оператери кориштени да разликују вертикалну компоненту вектора из своје хоризонталне компоненте. Као комплетан сложени број, хоризонталне и вертикалне количине се уписују као збир: (Слика испод)

У правоугаоничном облику, дужина и правац вектора означавају се у хоризонталном и вертикалном распону, први број који представља хоризонтални ("стварни") и други број (са префиксом "ј") који представља вертикални (" имагинарне ") димензије.

Хоризонтална компонента се назива стварна компонента, јер је та димензија компатибилна са нормалним, скаларним ("стварним") бројевима. Вертикална компонента се назива имагинарна компонента, јер та димензија лежи у другом правцу, потпуно ванземаљца до скале реалних бројева. (Фигуребелов)

Векторски компас који приказује стварне и имагинарне осе

"Права" оса графикона одговара познатој линији редова коју смо раније видели: онај са позитивним и негативним вредностима на њему. "Имагинарна" оса графикона одговара другој бројеви линији која се налази на 90 о до "стварног". Вектори који су дводимензионални, морамо имати дводимензионалну "мапу" на којој да их изразимо, стога двије линије праваца које су нормалне једни према другима: (Слика испод)

Векторски компас са правим и имагинарним ("ј") бројевима.

Претварање из поларног облика у правоугаоне облике

Или метода нотације важи за сложене бројеве. Основни разлог због тога што имају две методе нотације је да олакша дугорочно прорачунавање, правоугаони облик који се позајмљује на сабирање и одузимање, а поларни облик се позајмљује на множење и подјелу. Конверзија између два нотациона облика укључује једноставну тригонометрију. Да се ​​претвори из поларног у правоугаоне, пронађите праву компоненту помножавајући поларну магнитину косинусом угла и имагинарном компонентом помножавајући поларну величину сине угла. Ово се може лакше схватити тако што се количине повлаче као стране правог троугла, хипотенуза троугла која представља сам вектор (његова дужина и угао у односу на хоризонталну структуру поларне форме), хоризонталне и вертикалне стране које представљају " стварне "и" имагинарне "правоугаоне компоненте, респективно: (Слика испод)

Вектор магнитуде у реалним (4) и имагинарним (ј3) компонентама.

Претварање из правоугаоног облика у поларну форму

Да се ​​претвори из правоугаоног у поларну, пронађите поларну величину помоћу Питхагореан теорема (поларна магнитуда је хипотенуза правог троугла, а стварне и имагинарне компоненте су суседне и супротне стране, респективно), а угао према узимајући арктангент имагинарне компоненте подељен са стварном компонентом:

ПРЕГЛЕД:

  • Поларна нотација означава сложени број у смислу дужине вектора и угаоног правца од почетне тачке. Пример: лети 45 миља ∠ 203 о (Запад према југозападу).
  • Правоугаона нотација означава комплексан број по хоризонталним и вертикалним димензијама. Пример: возите 41 километар запада, а затим окрените и возите 18 миља јужно.
  • У правоугаоној нотацији, прва количина је "стварна" компонента (хоризонтална димензија вектора), а друга количина је "имагинарна" компонента (вертикална димензија вектора). Замишљеној компоненти претходи мала слова "ј", која се понекад називају и ј оператор .
  • И поларни и правоугаони облици нотације за сложени број могу се графички повезати у облику правог троугла, при чему хипотенуза представља сам вектор (поларни облик: дужина хипотенусе = величина, угао према хоризонталној страни = угао), хоризонтална страна која представља правоугаону "стварну" компоненту, а вертикална страна представља правоугаону "имагинарну" компоненту.