Истовремене једначине за анализу кола

Teachers, Editors, Businessmen, Publishers, Politicians, Governors, Theologians (1950s Interviews) (Може 2019).

$config[ads_text] not found
Anonim

Истовремене једначине за анализу кола

Математика за електронику


Питање 1

Решите ову једначину за вредност к:

к + 5 = 8

Колико точних решења има горња једначина "све">

к + и = 8

Колико точних решења има ова једначина? Поставите решења ове једначине на следећи графикон:

Открити одговор Сакриј одговор

Ако к + 5 = 8, онда је к = 3 (тачно једно решење)

Ако је к + и = 8, онда постоји бесконачан број решења:

Следеће питање: пронађите рјешење на к + 5 = 8 на истом графу.

Напомене:

Ово питање започиње изузетно једноставном једначином која има једно решење и помера се на другу једноставну једначину која има бесконачан број решења. Док се бесконачност тачних одговора може чинити немогућим за рационално решавање, графикон то прилично лепо рукује, мноштво тачних парова одговора представљају линију на графу са бесконачном дужином.

Питање 2

На графу укратите решења једначине и + к = 8:

На истом графу упишите решења једначине и - к = 3. Који је значај тачке где две линије прелазе "# 2"> Откривају одговор Сакри одговор

Точка пресека између две линије представља један скуп решења који задовољава обе једначине (где је к = 2.5 и и = 5.5).

Напомене:

Сврха овог питања је нежно упознати ученике са концептом истовремених система једначина, гдје скуп рјешења задовољава више од једне једначине у исто вријеме. Веома је важно да ученици разумеју основне концепте графикона пре него што покушају одговорити на ово питање.

Питање 3

Шта то заправо значи да добијемо решење за "симултани" систем једначина "# 3"> Открити одговор Сакри одговор

Решења за систем једначина представљају јединствену комбинацију вредности које задовољавају све једначине у том систему. За два променљива система, решење је пресек две линије.

Напомене:

Многи ученици имају потешкоће у схватању значаја система једначина. Разговарајте о значењу једначина и системима једначина са вашим ученицима, осигуравајући да је јасан концепт истовремености (рјешења која задовољавају све једначине одједном).

Питање 4

На графикону уписати једначину и = к 2 :

На истом графу уписати једнаџбу и = к + 2. Који је значај тачке гдје двије парцеле прелазе "# 4"> Открити одговор Сакри одговор

Ту су две тачке пресека између параболе (кривине) и праве линије, која представљају два различита скупа решења која задовољавају обе једначине.

Питање изазов: решите овај симултани систем једначина без графикона, али симболично манипулишући једначинама!

Напомене:

Овде, решење графичком може бити мало лакше од симболичког решења. У принципу можемо да одредимо решења за било који пар једначина графиком, са приближно једнаким потешкоћама. Једини стварни проблем је прецизност: колико блиско можемо тумачити до тачака раскрснице. Практичан примјер рјешења нелинеарног истовременог функционисања је анализа оптерећења у полупроводничком колу.

Питање 5

Линије за оптерећење су корисни алати за анализу транзисторских кругова појачала, али у почетку их је тешко разумети. Да бих вам помогао да разумете шта су "оптерећене линије" корисне и како су одређене, применићу једну на овај једноставни круг од два отпорника:

Мораћемо да направимо линију оптерећења за овај једноставни двосмјерни круг заједно са "карактеристичном кривом" за отпорник Р 1, како бисмо видели предност линије оптерећења. Линије оптерећења стварно имају само значење када се надовезују са другим парцелама. Прво, карактеристична крива за Р 1, дефинисана као однос напона / струје између терминала А и Б :

Затим ћу утврдити оптерећење као што је дефинисано отпорником оптерећења од 1, 5 кΩ. Ова "оптерећена линија" изражава напон који је доступан између истих два терминала (В АБ ) као функције струје оптерећења, како би се рачунало за напон који је опао преко оптерећења:

На којој вриједности струје (И Р1 ) се двије линије пресецају "# 5"> Откривити одговор Сакриј одговор

И Р = 8 мА је иста вриједност струје коју бисте израчунали ако сте анализирали ово коло као мрежу отпорних мрежа.

Питање о следећем питању: можда се питате: "Која је тачка плана" карактеристичне криве "и" оптерећења "у тако једноставном кругу, ако смо све што смо морали да урадимо да решимо за струју, додали два отпора и поделите ту укупну вредност отпорности на укупан напон? "Па, да будем искрен, нема смисла анализирати такав једноставан круг на овај начин, осим да илуструјемо како линије оптерећења раде. Моје следеће питање је следеће: где би започињање оптерећења стварно било корисно у анализи понашања кола? Да ли можете да замислите било какве модификације овог двосмјерног круга које би захтијевале анализу оптерећења линије како би ријешили струју?

Напомене:

Иако овај приступ анализи кола може изгледати неуморан - користећи линије оптерећења за израчунавање струје у двоструком отпорном колу - показује принцип линија оптерећења у контексту који би требао бити очигледан студентима у овом тренутку у њиховој студији. Разговарајте са својим ученицима како се добијају две линије (један за отпорник Р 1, а други за цртање напона доступног Р 1 на основу укупног извора напона и вриједности оптерећења отпорника).

Такође, разговарајте о значају две линије које се пресецају. Математички, шта значи раскрсница два графика? Које координатне вриједности тачке пресека представљају у систему истовремених функција? Како се овај принцип односи на електронско коло?

Питање 6

Линије оптерећења су корисни алати за анализу транзисторских кругова појачала, али могу се применити и на друге типове кругова. Узмите на пример овај диоде-отпорни круг:

Карактеристична кривуља диода је већ приказана на следећем графикону. Ваш задатак је да плотирате линију оптерећења за круг на истом графу и запазите где се две линије пресецају:

Који је практичан значај ове раскрснице парцела # 6 "> Открити одговор Сакриј одговор

Две линије се укрштају при струји од око 1, 72 мА:

Следеће питање: објасните зашто употреба оптерећења знатно поједностављује одређивање струје кола у таквом склопу диода-отпорника.

Питање изазов: Претпоставимо да је вредност отпорника повећана са 2, 5 кΩ на 10 кΩ. Која разлика би то учинила на плочници линије терета, иу тачки пресека између две парцеле "белешке скривене"> Напомене:

Иако овај приступ анализи кола може изгледати блесаво - користећи линије оптерећења за израчунавање струје у диодном отпорном колу - он показује принцип линија оптерећења у контексту који би требао бити очигледан студентима у овом тренутку у њиховој студији. Разговарајте са својим ученицима како се добија оптерећење за ово коло и зашто је то право док карактеристична кривина диода није.

Такође, разговарајте о значају две линије које се пресецају. Математички, шта значи раскрсница два графика? Које координатне вриједности тачке пресека представљају у систему истовремених функција? Како се овај принцип односи на електронско коло?

Питање 7

Претпоставимо да сте добили следеће две једначине и тражили да пронађете решења за к и и која ће задовољити оба у исто време:

и + к = 8

и - к = 3

Ако манипулишемо другом једнаџбом тако да ријешимо за и, ми ћемо имати дефиницију и у смислу к које можемо користити за супституцију у првој једначини:

и = к + 3

Покажите процес замене у прву једначину и како то води јединственом рјешењу за к. Затим, користите ту вриједност к за рјешење за и, што резултира рјешењем постављено важећим за обе једначине.

Открити одговор Сакриј одговор

Ако и + к = 8 и и = к + 3, онда (к + 3) + к = 8. Стога,

к = 2, 5 и и = 5, 5

Напомене:

Ово питање показује једну од (многих) практичних примена алгебарске супституције: решавање истовремених система једначина.

Питање 8

Интересантна и корисна својина у математици је транзитивна својина :

Ако је а = б и б = ц, онда а = ц

Једноставно речено, две варијабле морају бити једнаке једна другој ако су оба једнака честој (трећој) променљивој. Иако није нарочито дубока или опуштена по обиму, ова својина је ипак корисна у решавању одређених математичких проблема.

Претпоставимо да сте добили следеће две једначине и тражили да пронађете решења за к и и која ће задовољити оба у исто време:

и + к = 8

и - к = 3

Манипулишите обе ове једначине за решење за и, а затим објасните како можете применити транзитивни принцип који ћете решити за к.

Открити одговор Сакриј одговор

Ако је 8 - к = и и 3 + к = и, онда 8 - к мора бити једнако 3 + к:

8 - к = 3 + к

Решења за к и и:

к = 2, 5 и и = 5, 5

Напомене:

Овај метод решавања за двоструки варијабилни скуп истовремених једначина заиста није ништа друго до супституција у маски. Међутим, неким ученицима је лакше схватити него директну супституцију.

Питање 9

Претпоставимо да сте добили следеће две једначине и тражили да пронађете решења за к и и која ће задовољити оба у исто време:

и + к = 8

и - к = 3

Сада, знате да можемо учинити све што желимо било једнакости, све док исто радимо на обе стране (са обе стране "једнаког" знака). Ово је основно правило које следимо када манипулишемо једначином за решавање одређене варијабле. На пример, можемо узети једначину и + к = 8 и одузети к са обе стране како бисмо добили једначину изражену у термину и:

Пратећи исти принцип, можемо узети две једначине и комбинирати их додавањем или одузимањем обе стране. На пример, можемо узети једначину и - к = 3 и додати обе стране на одговарајуће стране прве једначине и + к = 8:

Који је добар резултат ове акције "# 9"> Открит одговор Сакриј одговор

Можемо користити резултат (2и = 11) да решимо за вредност и, која када се супституише у било коју од оригиналних једначина може се користити за решавање вредности к да истовремено задовољи обе једначине.

Напомене:

Иако није интуитивно очигледан већини људи, техника додавања две целе једнаџбе једна другој ради сврхе елиминисања варијабле није само могућа, већ врло моћна када траже рјешења која задовољавају обе изворне једначине. Разговарајте са ученицима зашто је дозвољено да додамо и-к у и + к и додамо 3 до 8. да бисте добили једначину 2и = 11.

Питање 10

Решите за вриједности к и и који ће истовремено задовољити обе сљедеће једначине:

к + 2и = 9

4к - и = -18

Открити одговор Сакриј одговор

к = -3 и = 6

Следеће питање: решити овај систем истовремених једначина користећи и супституцију (решавање једне варијабле у једној од једначина и супституцију у другу једначину) и додавање (додајући двије једначине заједно да произведу трећу једначину са само једним непознатим) .

Напомене:

Ништа посебно овде - само решавање проблема за систем варијабли са две варијабле.

Питање 11

Решите за вриједности к и и који ће истовремено задовољити обе сљедеће једначине:

3к - и = 17

к + 2и = 1

Открити одговор Сакриј одговор

к = 5 и = -2

Напомене:

Ништа осим "вежбе" (вежбе) овде.

Питање 12

Решите за вриједности к и и који ће истовремено задовољити обе сљедеће једначине:

3к - и = -9

к + 2и = 4

Открити одговор Сакриј одговор

к = -2 и = 3

Напомене:

Ништа осим "вежбе" (вежбе) овде.

Питање 13

Ако желимо да решимо вредност три међусобно повезане варијабле (тј. Кс + и + з = 0), колико једнаџби требамо у нашем "систему" истовремених једначина, укупно?

Графички, шта решење поставља (к, и, з) представља систем једначина са три варијабле?

Открити одговор Сакриј одговор

Три варијабле захтијевају три једначине за рјешење. Графички, скуп решења представља тачку у којој се три равнина бесконачног подручја пресецају.

Напомене:

Питајте своје ученике да графички супротстављају сценарио три варијабле и три једначине у односу на двије варијабле и двије једначине. Где је решење постављено представљено у систему са два варијабла, са две једначине? Колико се екстраполирамо од ове ситуације до оне где су укључене три варијабле и три једначине?

Питање 14

Многе технике за анализу кола захтевају решење "система линеарних једначина", који се понекад називају "истовремене једначине". Ово питање је стварно низ проблема у решавању истовремених линеарних једначина, чија је сврха да вам дају пуно праксе користећи различите технике решења (укључујући и решења вашег калкулатора).

Системи две варијабле:

к + и = 5к - и = -62к + и = 7
к - и = 12к - и = 4к - и = 2
3к - 2и = -1-10к + 2и = 03к - 5и = -13
5к + и = -6-3к - 5и = -28-Кс + 2и = 5
1000к - 500и = 0-15000к + 2200и = -662009100к - 5000и = 24
550к + 2500и = 55507900к - 2800и = 28300-5200к - 2700г = -6, 5

Системи три варијабле:

к - и + з = 13к + 2и - 5з = ​​-21к + и + з = 0
-Кс - и + з = -1к - 3и + з = 82к - и - 4з = -9
к + и + з = 3-Кс - и - з = -12-2к + 2и - з = 12
к + и - 2з = -12-4к - 3и + 2з = -3219к - 6и + 20з = -33
3к - 2и + з = 19к - 2и + 3з = -14к + 5и - 3з = -17
-4к + 3и - 5з = ​​-45-2к + 7и - з = 3-7к + 2и - 8з = 9
890к - 1000и + 2500з = -15002750к - 6200и + 4500з = 17500
3300к + 7200и - 5100з = 21500-10000к + 5300и - 1000з = 8100
-Кс + и - з = 06к - 2г - 3з = 5
Открити одговор Сакриј одговор

Системи две варијабле:

к + и = 5к - и = -62к + и = 7
к - и = 12к - и = 4к - и = 2
к = 3 ; и = 2к = 10 ; и = 16к = 3 ; и = 1
3к - 2и = -1-10к + 2и = 03к - 5и = -13
5к + и = -6-3к - 5и = -28-Кс + 2и = 5
к = - 1 ; и = - 1к = 1 ; и = 5к = - 1 ; и = 2
1000к - 500и = 0-15000к + 2200и = -662009100к - 5000и = 24
550к + 2500и = 55507900к - 2800и = 28300-5200к - 2700г = -6, 5
к = 1 ; и = 2к = 5 ; и = 4к = 0 . 001924 ; и = - 0 . 001298

Системи три варијабле:

к - и + з = 13к + 2и - 5з = ​​-21к + и + з = 0
-Кс - и + з = -1к - 3и + з = 82к - и - 4з = -9
к + и + з = 3-Кс - и - з = -12-2к + 2и - з = 12
к = 1 ; и = 1 ; з = 1к = 4 ; и = 1 ; з = 7к = - 3 ; и = 3 ; з = 0
к + и - 2з = -12-4к - 3и + 2з = -3219к - 6и + 20з = -33
3к - 2и + з = 19к - 2и + 3з = -14к + 5и - 3з = -17
-4к + 3и - 5з = ​​-45-2к + 7и - з = 3-7к + 2и - 8з = 9
к = 2 ; и = - 4 ; з = 5к = 6 ; и = 2 ; з = - 1к = - 5 ; и = 3 ; з = 4
890к - 1000и + 2500з = -15002750к - 6200и + 4500з = 17500
3300к + 7200и - 5100з = 21500-10000к + 5300и - 1000з = 8100
-Кс + и - з = 06к - 2г - 3з = 5
к = 2 . 215 ; и = 1 . 378 ; з = - 0 . 8376к = - 5 . 171 ; и = - 9 . 322 ; з = - 5 . 794

Напомене:

Предлажем да допустите својим ученицима да открију како користити јединице за решавање једначина својих научних калкулатора сами. Моје искуство је било да студенти и млади и старци лако излазе на овај изазов, јер схватају како ће научити како користити своје калкулаторе ће их спасити огромне количине ручних калкулација!

Питање 15

Претпоставимо да је потребно одабрати фиксну вриједност отпорника (Р) да направите круг разводника напона, с обзиром на познату вриједност отпорности потенциометра, вриједност извора напона и жељени опсег подешавања:

Решите за Р и покажите једначину коју сте подесили да бисте то урадили.

Напомена: запамтите серију отпорника напона за поделу напона. . .

В Р = В укупно⎛ ⎝ Р


Р тотал

⎞ ⎠

Открити одговор Сакриј одговор

Р = 20.588 кΩ

Напомене:

Будите сигурни да ваши ученици постављају своје једначине испред класе, тако да сви могу да виде како су то урадили. Неки ученици могу се одлучити да примјењују Охмов закон на рјешење Р, што је добро, али у циљу развијања једначина које би одговарале проблемима то можда није најбоље рјешење. Изазовите својим ученицима да дођу до једне једначине која решава за Р, са свим познатим количинама на другој страни "једнаког" знака.

Питање 16

Претпоставимо да је потребно одабрати вриједност потенциометра (Р) да направите круг разводника напона, с обзиром на познату фиксну вриједност отпорника, вриједност извора напона и жељени опсег подешавања:

Решите за Р и покажите једначину коју сте подесили да бисте то урадили.

Напомена: запамтите серију отпорника напона за поделу напона. . .

В Р = В укупно⎛ ⎝ Р


Р тотал

⎞ ⎠

Открити одговор Сакриј одговор

Р = 121, 43 кΩ

Следеће питање: нећете моћи пронаћи потенциометар с вриједношћу отпора пуног опсега од тачно 121.43 кΩ. Опишите како можете узети потенциометар стандардне вриједности и спојити га на један или више отпорника с фиксном вредношћу да бисте добили жељени опсег с пуним опсегом.

Напомене:

Будите сигурни да ваши ученици постављају своје једначине испред класе, тако да сви могу да виде како су то урадили. Неки ученици могу се одлучити да примјењују Охмов закон на рјешење Р, што је добро, али у циљу развијања једначина које би одговарале проблемима то можда није најбоље рјешење. Изазовите својим ученицима да дођу до једне једначине која решава за Р, са свим познатим количинама на другој страни "једнаког" знака.

Следеће питање је веома практично, јер је немогуће пронаћи потенциометре спремне за произвољне вриједности пуног оптерећења. Уместо тога, морате радити с оним што можете наћи, што је уобичајено номиналне вриједности као што су 10 кΩ, 100 кΩ, 1 МΩ итд.

Питање 17

Инжењер треба израчунати вредности два отпорника да би поставио минимални и максимални однос отпора за следећи потенциометарски круг:

Прво, напишите једначину за сваки круг, показујући како се отпорности Р 1, Р 2 и 10 кΩ потенциометра комбинују како би се формирао однос (а / б). Затим, користите технике за рјешавање истовремених једначина за израчунавање стварних вриједности отпорности за Р 1 и Р 2 .

Открити одговор Сакриј одговор

а


б

(минимум) = Р 1


Р 2 + 10000

а


б

(максимум) = Р 1 + 10000


Р 2

Р 1 = 15, 77 кΩ

Р 2 = 515, 5 Ω

Напомене:

Ова врло практична примена истовремених једначина је заправо користила један од мојих ученика у успостављању доње и горње границе за подешавање оптерећења опсега обрнутим опамп круговима!

Питање 18

Повећање напона транзисторског појачала заједничког емитера је приближно једнако отпорности колектора подијељеним са отпорником емитера:

С обзиром на то, израчунајте потребне вредности отпорности за следећи отпорник са фиксном вредношћу (Р 2 ) и потенциометар (Р 1 ) како би се овом заједничком емитеру појачало подесио распон повећања напона од 2 до 8:

Открити одговор Сакриј одговор

Р 1 (пот) = 9 кΩ

Р 2 (фиксна) = 3 кΩ

Напомене:

Питајте ученике како могу да направе потенциометар стандардне вредности, као што је 10 кΩ, максимална отпорност од само 9 кΩ.

Питање 19

Повећање напона транзисторског појачала заједничког емитера је приближно једнако отпорности колектора подијељеним са отпорником емитера:

Знајући то, израчунајте потребне вредности отпорности за следеће отпорнике са фиксном вредношћу (Р 1 и Р 2 ) како би се овом заједничком емитеру појачало подешавало распон напона од 4 до 7:

Открити одговор Сакриј одговор

Р 1 = 13, 33 кΩ

Р 2 = 3.333 кΩ

Напомене:

Да ли ваши ученици показују како су поставили систем једначина за решење за две вредности отпорника. Ово је добра вјежба да урадите испред класе, тако да сви могу видети (могуће) различите методе рјешења.

Питање 20

Претпоставимо да морате изабрати двије вредности отпорности да бисте направили разводник напона са ограниченим опсегом подешавања. Један од ових отпорника ће бити фиксиран у вредности (Р 1 ), док ће други бити променљив (потенциометар повезан као реостат-Р 2 ):

Поставите систем истовремених једначина за решење за Р 1 и Р 2 и покажите како сте стигли до решења за сваку.

Напомена: запамтите серију отпорника напона за поделу напона. . .

В Р = В укупно⎛ ⎝ Р


Р тотал

⎞ ⎠

Открити одговор Сакриј одговор

Р 1 (фиксна) = 4.286 кΩ

Р 2 (пот) = 19, 048 кΩ

Следеће питање: нећете моћи пронаћи потенциометар с вриједношћу отпорности пуног опсега од тачно 19.048 кΩ. Опишите како можете узети потенциометар стандардне вриједности и спојити га на један или више отпорника с фиксном вредношћу да бисте добили жељени опсег с пуним опсегом.

Напомене:

Будите сигурни да ваши ученици постављају своје једначине испред класе, тако да сви могу да виде како су то урадили. Неки ученици се могу одлучити да примене Охмов закон на рјешење оба отпорника, што је добро, али у циљу развијања једначина за одговарање на проблеме можда није најбоље рјешење. Изазовите својим ученицима да изађу из скупа једначина који решавају за Р 1 и Р 2, а затим користе технике за решавање истовремених једначина како би стигли до решења за сваку.

Следеће питање је веома практично, јер је немогуће пронаћи потенциометре спремне за произвољне вриједности пуног оптерећења. Уместо тога, морате радити с оним што можете наћи, што је уобичајено номиналне вриједности као што су 10 кΩ, 50 кΩ, 100 кΩ итд.

Питање 21

Претпоставимо да морате изабрати двије вредности отпорности да направите делитељ напона са ограниченим опсегом подешавања:

Поставите систем истовремених једначина за решење за Р 1 и Р 2 и покажите како сте стигли до решења за сваку.

Напомена: запамтите серију отпорника напона за поделу напона. . .

В Р = В укупно⎛ ⎝ Р


Р тотал

⎞ ⎠

Открити одговор Сакриј одговор

Р 1 = 5, 25 кΩ

Р 2 = 2, 25 кΩ

Напомене:

Будите сигурни да ваши ученици постављају своје једначине испред класе, тако да сви могу да виде како су то урадили. Неки ученици се могу одлучити да примене Охмов закон на рјешење оба отпорника, што је добро, али у циљу развијања једначина за одговарање на проблеме можда није најбоље рјешење. Изазовите својим ученицима да изађу из скупа једначина који решавају за Р 1 и Р 2, а затим користе технике за решавање истовремених једначина како би стигли до решења за сваку.

Питање 22

Користите истовремене једначине за израчунавање вредности Р 1 и Р 2 неопходних да би се овом подељивачу напона наведио распон подешавања:

В излаз (минимум) = 3 волти В излаз (максимум) = 8 волти

Р 1 = Р 2 =

Открити одговор Сакриј одговор

Р 1 = 2 кΩ

Р 2 = 3 кΩ

Напомене:

Да ли ваши ученици показују своје методе решавања у класи, тако да можете да посматрате њихову способност решавања проблема и могу видети вишеструке методе решавања.

Питање 23

Користите истовремене једначине за израчунавање вредности Р 1 и Р 2 неопходних да би се овом подељивачу напона наведио распон подешавања:

В излаз (минимум) = 5 волти В излаз (максимум) = 12 волти

Р 1 = Р 2 =

Открити одговор Сакриј одговор

Р 1 = 4.2857 кΩ

Р 2 = 7, 1429 кΩ

Напомене:

Да ли ваши ученици показују своје методе решавања у класи, тако да можете да посматрате њихову способност решавања проблема и могу видети вишеструке методе решавања.

Питање 24

Повећање напона обртног круга оперативног појачавача дефинише се односом повратне спреге и улазног отпора:

А В = Р ф


Р и

Израчунајте потребне вредности Р 1 и Р 2 да бисте ограничили минимални и максимални напон напона овог опампног кола на 5 и 30, с обзиром на потенциометар у средини са оптерећењем од пуног опсега од 5 кΩ:

Открити одговор Сакриј одговор

Р 1 = 1, 2 кΩ

Р 2 = 31 кΩ

Напомене:

Ово је веома практичан примјер кориштења истовремених једначина у дизајну аналогног кола.

Питање 25

Израчунајте потребне вредности Р 1 и Р 2 да бисте ограничили минимални и максимални напон напона овог опампног кола на 10 и 85, респективно:

Открити одговор Сакриј одговор

Р 1 = 2 кΩ

Р 2 = 153 кΩ

Напомене:

Ово је веома практичан примјер кориштења истовремених једначина у дизајну аналогног кола. Уобичајена грешка ученика током постављања једначина заборавља да је добитак неинверзијског појачавача однос односа повратних информација и отпорника уземљења, плус један!

  • ← Претходни радни лист

  • Индек листова

  • Следећи радни лист →