Решавање истовремених једначина: Метода замјене и метод додавања

Refrigerant Properties (Јун 2019).

$config[ads_text] not found
Anonim

Решавање истовремених једначина: Метода замјене и метод додавања

Поглавље 4 - Алгебра Референце


Решавање истовремених једначина и система једначина

Изрази истовремене једначине и системи једначина односе се на услове у којима су две или више непознатих варијабли међусобно повезани једнаким бројем једначина.

Размотрите следећи пример:

За овај скуп једначина постоји само једна комбинација вредности за к и и која ће задовољити и оба. Или једнаџба, разматрана одвојено, има бесконачност важећих (к, и) рјешења, али заједно постоји само једна. На графикону, ово стање постаје очигледно:

Свака линија је уствари континуум тачака који представља могуће к и и парове рјешења за сваку једначину. Свака једначина, одвојено, има бесконачан број наручених пара (к, и) решења. Постоји само једна тачка где се две линеарне функције к + и = 24 и 2к - и = -6 пресецају (гдје једно од њих многа независна рјешења служе за обе једначине), а то је гдје је к једнак вриједности 6 и и је једнака вредности од 18.

Обично, међутим, графикон није веома ефикасан начин за одређивање истовременог рјешења постављеног за двије или више једначина. Посебно је непрактично за системе са три или више варијабли. У систему са три варијабле, на пример, решење би се пронашло пресечем тачака три авиона у тродимензионалном координатном простору - а не лаким сценаријем за визуелизацију.

Постоји неколико алгебарских техника за решавање истовремених једначина. Можда је најједноставнији начин замене .

Узми, на пример, наш проблем са два варијабла:

У методи супституције манипулишемо једним од једначина тако да једна променљива дефинише у односу на другу:

Затим узмемо ову нову дефиницију једне варијабле и замијенимо је за исту варијаблу у другој једначини. У овом случају узимамо дефиницију и, која је 24-к и замијенимо је за и израз који се налази у другој једначини:

Сада када имамо једначину са само једном променљивом (к), можемо га решити користећи "нормалне" алгебарске технике:

Сада када је познато к, можемо ову вриједност укључити у било коју од првих једначина и добити вриједност за и. Или, да нас сачувамо неки посао, можемо ову вредност (6) прикључити у једначину коју смо управо генерисали да дефинишемо и у терминима к, будући да је већ у облику за решење за и:

Примена метода супституције на системе од три или више варијабли подразумева сличан образац, само са више радова. То је уопштено тачно за било који метод решења: број корака потребних за добијање решења брзо се повећава са сваку додатну варијаблу у систему.

Да бисмо решили три непознате варијабле, требају нам најмање три једначине. Размотрите овај пример:

Будући да прва једначина има најједноставније коефицијенте (1, -1 и 1, за к, и и з, респективно), чини се логичним да га искористимо да развијемо дефиницију једне променљиве у односу на друга два. У овом примеру решићу за к у смислу и и з:

Сада, можемо заменити ову дефиницију к гдје се к појављује у двије друге једначине:

Смањење ове две једначине у најједноставније форме:

До сада су наши напори редуковали систем са три варијабле у три једначине на двије варијабле у двије једначине. Сада можемо поново применити супституциону технику на две једначине 4и-з = 4 и -3и + 4з = 36 да би решили за било који и или з. Прво ћу манипулисати првом једначином да дефинишем з у смислу и:

Затим ћемо заменити ову дефиницију з у смислу и гдје видимо з у другој једначини:

Сада када је и позната вриједност, можемо је укључити у једначину која дефинише з у смислу и и добије слику за з:

Сада, с вриједностима за и и з познате, можемо их укључити у једначину гдје смо дефинисали к у терминима и и з, како би добили вриједност за к:

У закључку смо пронашли вриједности за к, и и з од 2, 4 и 12, што одговара све три једначине.

Иако метод супституције може бити најлакши за разумевање концептуалног нивоа, постоје и друге методе рјешења које су нам доступне. Један такав метод је такозвани метод додавања, при чему се једначине додају једни другима ради отказивања варијабилних термина.

Узмимо наш систем са две варијабле који се користи за демонстрацију метода супституције:

Једно од најкорисенијих правила алгебре је да можете извршити било коју аритметичку операцију коју желите једначину, све док то радите једнако обе стране . С обзиром на додатак, то значи да можемо додати било коју количину коју желимо обе стране једначине - све док је исте количине - без измјене истине једначине.

Једна опција коју имамо, је да додамо одговарајуће стране једначина заједно да формирамо нову једначину. Пошто је свака једначина израз једнакости (исте количине са обе стране знак =), додавање леве стране једне једначине са леве стране друге једначине важи све док додамо две једначине 'десне стране заједно. У нашем примјеру једначине, на пример, можемо додати к + и до 2к-и, а заједно заједно додати 24 и -6 како бисмо формирали нову једначину. Какву корист то има за нас "// ввв.беаутицрев.цом.ау//суб.аллабоутцирцуитс.цом/имагес/11082.пнг">

Пошто је горња једначина садржала позитиван и израз, док је доња једначина садржавала негативан и израз, ова два израза се поништавају у процесу додавања, не остављајући никакав термин у сразмери. Оно што смо оставили је нова једначина, али једна са само једном непознатом променљивом, к! Ово нам омогућава да лако решимо вредност к:

Једном када имамо познату вриједност за к, наравно, одређивање вриједности и је једноставно питање супституције (замјењује се к са бројем 6) у једну од првих једначина. У овом примјеру, техника додавања једначина добро је радила да произведе једначину са једном непознатом варијаблом. Шта је са примјером гдје ствари нису тако једноставне "// ввв.беаутицрев.цом.ау//суб.аллабоутцирцуитс.цом/имагес/11084.пнг">

Могли бисмо додати ове две једначине заједно - ово је потпуно валидна алгебарска операција - али то нас не би профитирало у циљу добијања вриједности за к и и:

Добијена једначина и даље садржи две непознате варијабле, баш као што су оригиналне једначине, па ми више не добијамо решење. Међутим, шта ако можемо да манипулишемо једним од једначина тако да имамо негативан термин који би поништио одговарајући израз у другој једначини када је додан "// ввв.беаутицрев.цом.ау//суб.аллабоутцирцуитс.цом/имагес/ 11086.пнг ">

Сада можемо додати ову нову једначину оригиналној, горњој једначини:

Решавање за к добијамо вредност од 3:

Замењујући ову нову вриједност за к у једну од првих једначина, вриједност и се лако одређује:

Коришћење ове технике решења на систему са три варијабле је мало сложеније. Као и са супституцијом, морате користити ову технику да смањите систем три једначине од три варијабле до две једначине са две варијабле, а затим га поново примијените како бисте добили јединствену једначину са неком непознатом варијаблом. За демонстрацију, користићу систем са три варијабилне једначине из одељка за замену:

Будући да горња једначина има вриједности коефицијента од 1 за сваку варијаблу, то ће бити једноставна једначина за манипулацију и кориштење као алатка за отказивање. На пример, ако желимо да откажемо 3к појам из средње једначине, све што треба да урадимо јесте да узмемо горњу једначину, помножимо сваки његов израз са -3, а затим га додамо у средњу једначину овако:

На исти начин можемо ослободити доњу једначину свог -5к термина: узети прву прву једначину, помножити сваки свој израз са 5, а затим додати ту модификовану једначину у доњу једначину, остављајући нову једначину само са и и з условима :

У овом тренутку имамо две једначине са истим две непознате варијабле, и и з:

Прегледом треба бити евидентно да -з израз горње једначине може бити искоришћен да откаже термин 4з у доњој једначини ако само помножимо сваки израз горње једначине са 4 и додамо две једначине заједно:

Узимајући нову једначину 13и = 52 и решавањем за и (дељењем обе стране са 13), добијамо вредност од 4 за и. Замена ове вредности 4 за и у једној од две варијабилне једначине омогућава нам да решимо за з. Замењујући обе вредности и и з у било коју од оригиналних, три-варијабилне једначине нам омогућава да решимо за к. Коначни резултат (ја ћу вам поштедити алгебарске кораке, јер би требало да сте упознати са њима до сада!) Је да је к = 2, и = 4, и з = 12.